PROGRAM LINEAR
Makalah
Disusun Untuk
Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Pelajaran Matematika
Disusun Oleh,
MUHAMMAD RAIHAN
INDRAGUNA
XI MIPA 5
PEMERINTAHAN
KABUPATEN CIAMIS
DINAS
PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
SMA NEGERI 2 CIAMIS
JL. K. H AHMAD
DAHLAN NO 02 CIAMIS TELP. (0265) 771709
TAHUN PELAJARAN
2017/2017
LEMBAR
PENGESAHAN
Pengesahan makalah mnegenai Program Linear dengan,
NAMA : MUHAMMAD RAIHAN
INDRAGUNA
KELAS : XI MIPA 5
NISN :
0016205779
Menyetujui,
Pembina serta Pembimbing, Siswa,
Selly
Afianti Rosliani Muhammad Raihan Indraguna
NIP.197011141999032004 NISN. 0016205779
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Dengan mengucapkan puji syukur kehadirat
Tuhan Yang Maha Esa, yang telah
memberikan rahmat serta karunianya, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah
sederhana ini.
Makalah
Program Linear ini berisi tentang maeri-materi program linear beserta contoh
soalnya.
Terselesainya makalah ini tentu tidak lepas
dari banyak pihak. Oleh karena itu, kami mengucapkan terima kasih kepada :
1.
Ibu Selly
Afianti
Rosliani selaku wali kelas XI IPA 5, sekaligus guru mata pelajaran Matematika Wajib.
2.
Ibu selaku guru pembimbing dan
pembina.
3.
Ibu selaku guru pembimbing dan pembina.
Makalah ini disusun dalam rangka
memenuhi tugas mata pelajaran Matematika. Selain itu, saya
berharap semoga maklah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak dan menjadi
referensi untuk menambah wawasan dan ilmu pengetahuan.
Oleh
karena itu, saya mengharap kritik dan saran yang membangun dan dapat menjadikan
makalah ini jauh lebih baik lagi. Saya mohon maaf atas kesalahan dan kekurangan
dalam penyusunan makalah ini
Ciamis, 2 Desember 2017
Penulis
DAFTAR ISI
LEMBAR
PENGESAHAN............................................................... ii
KATA PENGANTAR....................................................................... iii
DAFTAR ISI..................................................................................... iv
BAB 1 PEDAHULUAN.................................................................... 1
1.1.
Latar Belakang........................................................................ 1
1.2. Tujuan..................................................................................... 1
1.3. Rumusan Masalah................................................................... 1
BAB 2 PEMBAHASAN.................................................................... 2
2.1 Pengertian Program
Linear...................................................... 2
2.2 Pegertian Model
Matematika................................................... 2
2.3 Pertidaksamaan
Linear Dua Variabel...................................... 3
2.4 Sistem
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.......................... 4
2.5 Langkah-Langkah
Menggambar Grafik................................... 4
2.6 Menentukan Nilai
Optimum Bentuk Obyektif Dengan Menggunakan Garis Selidik................................................................................................ 5
2.7 Menentukan Nilai
Optimum Dengan Titik Pojok.................... 7
BAB 3 PENUTUP............................................................................. 12
3.1 Kesimpulan............................................................................ 12
3.2 Saran...................................................................................... 12
DAFTAR PUSTAKA....................................................................... 13
BAB
1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Program
linear atau biasa disebut juga sebagai optimasi linear merupakan suatu program
yang bisa dipakai untuk memecahkan masalah mengenai optimasi. Di dalam masalah
optimasi linear, batasan-batasan atau kendala-kendalanya bisa diterjemahkan ke
dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Nilai-nilai perubah yang memenuhi
suatu sistem pertidaksamaan linear berada pada suatu himpunan penyelesaian yang
mempunyai beragam kemungkinan penyelesaian. Dari beragam kemungkinan
penyelesaian tersebut terdapat sebuah penyelesaian yang memberikan hasil paling
baik (penyelesaian optimum). Jadi dapat disimpulkan bahwa tujuan dari masalah
optimasi linear adalah untuk mengoptimumkan (memaksimalkan atau meminimumkan)
sebuah fungsi f. Fungsi f ini disebut dengan fungsi sasaran,
fungsi tujuan, atau fungsi objektif.
1.2 Tujuan
a.
Untuk mengetahui cara menghitung petidaksamaan
b.
Untuk mengetahui cara menggambar grafik pertidaksamaan
c.
Untuk menyelesaikan masalah dengan model matematika
d.
Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan
1.3 Rumusan Masalah
a.
Apa pengertian program linear ?
b.
Bagaimana cara menghitung pertidaksamaan?
c.
Bagaimana cara menghitung dengan menggunakan titik pojok
?
d.
Bagaimana cara penyelesaian model matematika ?
BAB 2
PEMBAHASAN
2.1
Pengertian Program Linear
Program
linear atau biasa disebut juga sebagai optimasi linear merupakan suatu program
yang bisa dipakai untuk memecahkan masalah mengenai optimasi. Di dalam masalah
optimasi linear, batasan-batasan atau kendala-kendalanya bisa diterjemahkan ke
dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Nilai-nilai perubah yang memenuhi
suatu sistem pertidaksamaan linear berada pada suatu himpunan penyelesaian yang
mempunyai beragam kemungkinan penyelesaian. Dari beragam kemungkinan
penyelesaian tersebut terdapat sebuah penyelesaian yang memberikan hasil paling
baik (penyelesaian optimum). Jadi dapat disimpulkan bahwa tujuan dari masalah
optimasi linear adalah untuk mengoptimumkan (memaksimalkan atau meminimumkan)
sebuah fungsi f. Fungsi f ini disebut dengan fungsi sasaran,
fungsi tujuan, atau fungsi objektif.
Masalah
optimasi linear seperti yang telah dijelaskan di atas banyak dijumpai dalam
bidang produksi barang, distribusi barang, dalam bidang ekonomi, dan
bidang-bidang lainnya yang termasuk ke dalam kajian riset operasional.
2.2
Pengertian Model Matematika
Model
matematika dapat didefinisikan sebagai suatu rumusan matematika yang diperoleh
dari hasil penafsiran seseorang ketika menerjemahkan suatu masalah program
linear ke dalam Bahasa matematika. Suatu model matematika dikatakan baik
apabila di dalam model tersebut hanya memuat bagian-bagian yang diperlukan
saja.
Contoh soal beserta pembahasan :
- Seorang tukang roti berencana membuat dua jenis roti yaitu roti jenis
1(x) dan roti jenis 2 (y), dengan menggunakan dua macam bahan baku, yaitu
tepung dan mentega. Setiap roti jenis 1 memerlukan 200 gr tepung dan 25 gr
mentega, roti jenis 2 memerlukan 100 gr tepung dan 50 gr mentega. Harga
jual roti jenis 1 dan 2 masing-masing adlah Rp. 1.500 dan Rp. 2.000. Jumlah
persediaan bahan adalah 4 kg tepung dan 1,2 kg mentega. Maka model
matematikanya adalah.
Jawab :
Roti
|
Tepung (gr)
|
Mentega (gr)
|
Jenis 1 (x)
|
200
|
25
|
Jenis 2 (y)
|
100
|
50
|
Jumlah
|
4.000
|
1.200
|
Maka pertidaksamaanya adalah
200x + 100y ≤ 4.000
25x + 50y ≤ 1.200
Dimana x ≥ 0 dan y ≥ 0
- Untuk membuat barang A diperlukan 8 jam pada mesin I dan 6 jam pada
mesin II. Sedangkan barang B memerlukan 4 jam pada mesin I dan 10 jam pada
mesin II. Setiap hari masing-masing mesin tersebut bekerja tidak boleh
lebih dari 20 jam. Jika setiap hari dibuat x buah barang A dan y buah
barang B, maka model matematika dari masalah tersebut adalah.
Jawab :
Barang
|
Mesin I
|
Mesin II
|
A (x)
|
8
|
6
|
B (y)
|
4
|
10
|
Jumlah
|
20
|
20
|
Maka pertidaksamaanya adalah
8x + 4y ≤ 20
6x + 10y ≤ 20
Dimana x ≥ 0 dan y ≥ 0
2.3
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Bentuk
umum pertidaksamaan linear dua variabel
- ax + by > c
- ax + by < c
- ax + by ≤ c
- ax + by ≥ c
Dengan
a, b, c bilangan real.
Daerah
penyelesaina pertidaksamaan linear dua variabel suatu daerah yang dibatasi oleh
suatu garis.
2.4
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Gabungan dua atau lebih
pertidaksamaan linear dua variabel membentuk sistem pertidaksamaan dua
variabel.
Daerah penyelesaian
pertidaksamaan linear dua variaabel merupakan irisan dari semua daerah
penyelesaian pertidaksamaan linear dua variaabel.
2.5
Langkah-Langkah Menggambar Grafik
Misalnya kita ingin menggambar
grafik ax + by ≤ c.
- Gambarlah garis ax + by ≤ c pada koordinat cartesius.
- Pilih satu titik yang tidak terletak pada garis ax + by ≤ c tersebut,
lalu substitusikan nilai titik (x,y) tersebut ke dalam pertidaksamaan ax +
by ≤ c. Untuk mempermudah perhitungan , ujilah pertidaksamaan tersebut
pada titik 0 (0,0)
- Jika pertidaksamaan tersebut bernilai salah, maka himpunan
penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut, dengan
batasnya garis ax + by = c
- Jika pertidaksamaan tersebut bernilai benar, maka himpunan
penyelesaianya adalah daerah yang memuat titik tersebut, dengan btasnya
adalah garis ax + by = c
Himpunan
penyelesaian sistem pertidaksamaan linearnya adalah irisan dari semua daerah
himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut.
Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
2x + 3y ≤ 6
x – y ≤ 1
Maka penyelesaiannya adalah
2x + 3y = 6
x = 0, y = 2 (0,2)
y = 0, x = 3 (3,0)
x – y = 1
x = 0, y = -1 (0,-1)
y = 0 , x = 1 (1,0)
Maka grafik nya seperti pada gambar dibawah
Diperoleh daerah pertidaksamaan {(0,0), (1,0), (0,2), (0,-1), (9/5,4/5)}
2.6
Menentukan Nilai Optimum Bentuk Obyektif Dengan Menggunakan Garis Selidik ax +
by = k
- Pengertian Garis Selidik ax + by = k
Garis selidik ax + by = k merupakan suatu garis yang
berfungsi untuk menyelidiki dan menentukan sampai sejauh mana nilai fungsi
obyektif Z maksimum atau minimum.
- Aturan Penggunaan Garis Selidik ax + by = k
a.
Gambar
garis ax + by = ab yang memotong sumbu x di titik (b,0) dan sumbu y (0,a)
sebagai patokan.
b.
Tarik
garis-garis sejajar dengan ax + by = ab hingga f(x,y) maksimum atau minimum.
c.
Jika
garis ax + by = k merupakan garis sejajar dengan ax + by = ab dan berada di
paling atas/kanan pada DHP, maka Z=k merupakan nilai maksimum
d.
Jika
garis ax + by = k merupakan garis sejajar dengan ax + by = ab dan berada di
paling kiri pada DHP, maka Z=k merupakan nilai minimum
Contoh soal,
Gambarlah DHP sistem pertidaksamaan dengan menggunakan garis
selidik untuk menentukan nilai minimum dan maksimum dengan fungsi obyektif f (x,y)
= 8x + 7y dari sistem pertidaksamaan 2x + y ≤ 30 dan x + 2y ≤ 24 dimana x ≥ 0 dan y ≥ 0
Penyelesaiannya
2x + y ≤
30 x
+ 2y ≤ 24
2x + y =
30 x
+ 2y = 24
X
|
0
|
15
|
Y
|
30
|
0
|
X
|
0
|
24
|
Y
|
12
|
0
|
(0,30) (15,0) (0,12) (24,0)
2x + y = 30 *1 4x + 2y = 24
x + 2y =
24 *2 x
+ 2y =
24 -
-3x = -36
x = 12
Substitusikan x ke persamaan
y = 30 - 2x
= 30 – 2(12)
= 6
Diperoleh titik potong (12,6)
Maka diperoleh grafik seperti gambar dibawah
2.7
Menentukan Nilai Optimum Dengan Menggunakan Titik Pojok
- Nilai Optimum Suatu Bentuk Obyektif
Bentuk obyektfi ax + by merupakan linear ax + by yang
dimaksimumkan atau diminimumkan. Bentuk ini adalah bagian terpenting dalam
model matematika
- Langkah-Langkah Menentukan Nilai Optimum Bentuk Obyektif
a.
Gambarlah
daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut
b.
Carilah
titik-titik sudut dari daerah himpunan penyelesaian
c.
Substitusikan
titik-titik sudut dari daerah penyelesaian tersebut ke dalam fungsi bentuk
obyektif
d.
Tentukan
nilai optimum (maksimum dan minimum)
Contoh soal,
Tentukan nilai maksimum fungsi obyektif f(x,y) = 20x +30y dari pertidaksamaan
x + y ≤ 4
x + 3y ≤ 6
dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0
Penyelesaian,
x + y ≤ 4 x
+ 3y ≤ 6
x + y = 4 x
+ 3y = 6
X
|
0
|
4
|
Y
|
4
|
0
|
X
|
0
|
6
|
Y
|
2
|
0
|
(0,4) (4,0) (0,2) (6,0)
Titik potongnya
x + y = 4
x + 3y = 6 -
-2y = -2
y = 1
Substitusikan y ke persamaan
x + y = 4
x + 1 = 4
x = 3
Diperoleh titik potong (3,1)
Dan grafiknya akan seperti pada gambar dibawah.
Masukan lah titik-titik yang berada pada daerah pertidaksamaan ke fungsi
obyektif
f
(20x + 30y)
f(0,2)
= 20(0) + 30(2) = 60
f(4,0)
= 20(4) + 30 (0) = 80
f(3,1)
= 20(3) + 30(1) = 90
Jadi, nilai maksimum nya ada pada titik (3,1) dan nilai minimumnya ada pada
titik (3,1)
Contoh Soal 1
Tentukan himpunan dari pertidaksamaan
2x – 3y ≤ 2
4x + 3y ≤
13
Dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0
Penyelesaian
X
|
0
|
4
|
Y
|
3
|
0
|
2x – y ≤ 2
4x
+ 3y ≤ 13
X
|
0
|
1
|
Y
|
-2
|
0
|
(0,-2) (1,0) (0,3) (4,0)
Titik potongnya
4x + 3y = 13 *1 4x + 3y = 13
2x – 3 = 2 *2 4x
- 2y = 6 -
5y = 6
y = -
Substitusikan
y ke persamaan
2x
– y = 3
2x
- 
=
3 *5
10x
– 6 = 15
10x = 21
x = 
Grafiknya
akan seperti pada gambar
Contoh
soal 2
Gambarlah
koordinat 2x + 3y ≤ 6
X
|
0
|
3
|
Y
|
2
|
0
|
(0,2) (3,0)
Grafiknya
Gambarlah koordinat 2x + 6y ≤ 12, -3x + 4y ≤ 12, dan x – 6y ≥ 6
X
|
0
|
6
|
Y
|
-1
|
0
|
2x + 6y ≤ 12 -3x
+ 4y ≤ 12 x
– 6y ≥
6
X
|
0
|
6
|
Y
|
2
|
0
|
X
|
0
|
-4
|
Y
|
3
|
0
|
(0,2) (6,0) (0,3) (-4,0) (0,-1) (6,0)
Maka
grafiknya adalah
BAB 3
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Program linear atau
biasa disebut juga sebagai optimasi linear merupakan suatu program yang bisa
dipakai untuk memecahkan masalah mengenai optimasi. Di dalam masalah optimasi
linear, batasan-batasan atau kendala-kendalanya bisa diterjemahkan ke dalam
bentuk sistem pertidaksamaan linear.
3.2 Saran
Dalam bab ini ketelitian
dalam menggambar grafik sangat diperlukan dan saat mensubstitusikan angka ke
persamaan.
DAFTAR PUSTAKA
http://primalangga.blogspot.co.id/2017/07/rangkuman-program-linier.html
(3 Desember 2017)
http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/03/pengertian-program-linear-dan-model-matematika.html (3 Desember 2017)
https://matematikastudycenter.com/kelas-12/72-12-sma-program-linier (3 Desember 2017)
https://ibugurususi.blogspot.co.id/2017/04/materi-matematika-kelas-xii-ipa-sma_16.html (3 Desember 2017)
Buku tulis penulis (3 Desember 2017)
