Limit Fungsi, Turunan Fungsi, Barisan dan Deret

Limit Fungsi, Turunan Fungsi, Barisan dan Deret

Makalah

Disusun Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Pelajaran Matematika

Disusun Oleh,

MUHAMMAD RAIHAN INDRAGUNA

XI MIPA 5

PEMERINTAHAN KABUPATEN CIAMIS

DINAS PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

SMA NEGERI 2 CIAMIS

JL. K. H AHMAD DAHLAN NO 02 CIAMIS TELP. (0265) 771709

TAHUN PELAJARAN 2017/2017

LEMBAR PENGESAHAN

Pengesahan makalah mnegenai Limit Fungsi, Turunan Fungsi, Barisan dan Deret dengan,

NAMA : MUHAMMAD RAIHAN INDRAGUNA

KELAS : XI MIPA 5

NISN : 0016205779

Menyetujui,

Pembina serta Pembimbing, Siswa,

Muhammad Raihan Indraguna

NIP. NISN. 0016205779

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Dengan mengucapkan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah memberikan rahmat serta karunianya, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah sederhana ini.

Makalah ini berisi tentang materi-materi Limit Fungsi, Turunan Fungsi, Barisan dan Deret beserta contoh soalnya.

Terselesainya makalah ini tentu tidak lepas dari banyak pihak. Oleh karena itu, kami mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ibu selaku wali kelas XI IPA 5, sekaligus guru mata pelajaran Matematika Wajib.

Makalah ini disusun dalam rangka memenuhi tugas mata pelajaran Matematika. Selain itu, saya berharap semoga maklah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak dan menjadi referensi untuk menambah wawasan dan ilmu pengetahuan.

Oleh karena itu, saya mengharap kritik dan saran yang membangun dan dapat menjadikan makalah ini jauh lebih baik lagi. Saya mohon maaf atas kesalahan dan kekurangan dalam penyusunan makalah ini

Ciamis, 31 Mei 2018

Penulis

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN............................................................... ii

KATA PENGANTAR....................................................................... iii

DAFTAR ISI..................................................................................... iv

BAB 1 PEDAHULUAN.................................................................... 1

1.1. Latar Belakang........................................................................ 1

1.2. Tujuan..................................................................................... 1

1.3. Rumusan Masalah................................................................... 1

BAB 2 PEMBAHASAN.................................................................... 2

2.1 Barisan dan Deret Aritmatika, Geometri................................. 2

2.2 Limit Fungsi............................................................................ 9

2.3 Turunan Fungsi...................................................................... 15

BAB 3 PENUTUP............................................................................. 23

3.1 Kesimpulan............................................................................ 23

3.2 Saran...................................................................................... 23

DAFTAR PUSTAKA....................................................................... 24

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Limit merupakan konsep dasar untuk materi kalkulus, diferensial, dan integral. Limit, bersama-sama dengan kalkulus, fungsi, dan sebagainya masuk dalam satu cabang matematika yang disebut matematika analisis.

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan.

1.2 Tujuan

a. Untuk mengetahui cara menghitung Limit Fungsi

b. Untuk mengetahui cara menghitung Turunan Fungsi

c. Untuk mengetahui cara menghitung Barisan dan Deret

1.3 Rumusan Masalah

a. Apa pengertian Limit Fungsi ?

b. Bagaimana cara menghitung Limit Fungsi ?

c. Apa pengertian Barisan dan Deret ?

d. Bagaimana cara menghitung Barisan dan Deret ?

e. Apa pengertian Turunan Fungsi ?

f. Bagaimana cara menghitung Turunan Fungsi ?

BAB 2

PEMBAHASAN

2.1 Barisan dan Deret Aritmatika, Geometri

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara sukusuku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu. Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap, maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut barisan geometri.

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Deret aritmetika (deret hitung). Deret geometri (deret ukur)

a. Barisan Aritmatika

Rumus suku ke-n barisan aritmetika

Un = a + (n – 1) b

Dimana b = Un – Un-1, dengan b sebuah konstanta yang tidak bergantung ada n.

Contoh :

1. Tentukan suku pertama, beda, rumus ke-n, dan suku ke-10 dari barisan berikut.

a. 5, 10, 15, 20 . . . .

b. 2, -1, -4, -7 . . . .

Jawab:

a. Suku pertama (U1) = a = 5

Beda (b) = U2 – U1 = U3 – U2 = 5

Rumus suku ke-n (Un)

= a + (n -1) b

= 2 + (n -1) (-3)

= 5 + 5n – 5

= 5n

b. Suku pertama (U1) = a = 2

Beda (b) = U2 – U1 = U3 – U2 = -3

Rumus suku ke-n (Un)

= a + (n -1) b

= -3n + 5

2. Suatu perusahaan ada tahun pertama memproduksi 5.000 unit barang. Pada tahun-tahun berikutnya produksi turun secara bertahap sebesar 80 unit pertahun. Pada tahun ke berapa perusahhan tersebut memproduksi 3.000 unit barang?

Jawab:

Penurunan produksi bernilai tetap, berarti merupakan persoalan barisan aritmetika dengan beda (b) = -80, a =5./000, Un = 3.000, sehingga

Un = a + (n – 1) b

3.000 = 5.000 + (n – 1) (-80)

3.000 = 5.000 – 80n + 80

80n = 2.000 + 80

n = 2.080/80 = 26

Jadi, perusahaan memproduksi 3.000 unit barang terjadi ada tahun ke-26

3. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-4 = 17dan suku ke-9 = 37. Tentukan suku ke-41.

Jawab:

Suku ke-4 (U4) = 17 ⇔ a + (4 – 1) b = 17

⇔ a + 3b = 17 . . .( 1)

Suku ke-9 (U9) = 37

⇔ a + (9 – 1) b = 37

⇔ a+ 8b = 37 . . .(2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2 menjadi:

a + 3b = 17

a+ 8b = 37

– 5b = -20

b = 4

Subsitusi b = 4 ke persamaan 1 menjadi:

a + 3(4) = 17

a + 12 = 17

a = 5

U41 = a + (n – 1) b

= 5 + (n – 1) 4

= 5 + 4n – 4

= 4n – 4

= 4(41) + 1 = 165

Jadi, suku ke-41 adalah 165.

b. Deret Aritmatika

Seperti yang telah dijelaskan di dpan bahwa penjumlahan berurut suku-suku dari suatu barisan disebut deret.

Contoh:

• 2 + 4 + 6 + 8 + . . . .

• 3 + 7 + 11 + 15 + . . . .

• ½ + ¼ + 0 – ¼ – . . . .

Bentuk umum deret dinyatakan sebagai U1 + U2 + U3 + . . . + Un. Deret aritmetika adalah suatu barisan aritmetika yang suku-sukunya dijumlahkan.

Jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dapat dinyatakan rumus berikut:

Sn = ½ n ( a + Un)

atau

Sn = ½ n (2a + n – 1) b)

dengan

Sn : jumlah n suku pertama

Un : suku ke-n

a : suku pertama

b : beda

n : banyak suku

Untuk setiap berlaku:

Un = Sn – Sn-1

Contoh :

1. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika: 11 + 16 + 21 + . . .

Jawab:

a = U1 = 11

b = 16 – 11 = 21 – 16 = 5

n = 10

Sn = ½ n (2a + (n – 1) b)

S10 = ½ (10) (2(11) + (10 – 1) 5) = 5 (22 + 45) = 335

2. Diketahui deret aritmetika: 2 + 5 + 8 + 11 + . . . .

Tentukan:

a). rumus suku ke-n (Un)

b). rumus jumlah n suku pertama (Sn)

c). jumlah 20 suku pertama (S20).

Jawab:

a = U1 = 2

b = 5 – 2 = 8 – 5 = 3

a). Un = a + (n – 1) b

= 2 + (n – 1) 3

= 3n – 1

b). Sn = ½ n (2a (n + Un)

= ½ n (a + (3n – 1))

= ½ n (1 + 3n)

= 10 + 600

= 610

3. Gaji seorang karyawan setiap bulan Rp50.000,00. Jika gaji pertama karyawan tersebut Rp1.000.000,00, tentukan jumlah gaji selama satu tahun pertama.

Jawab:

a = 1.000.000,00

b = 50.000,00

n = 1 tahun = 12 bulan

Sn = ½ n (2a + (n – 1) b)

S12 = ½ 2(1.000.000) + (12 – 1) (50.000))

. = 6 (2.000.000 + 11(50.000))

. = 6 (2.550.000)

. =15.300.000

Jadi, jumlah gaji karyawan tersebut selama setahun adalah 15.300.000,00

c. Suku Tengah Barisan Aritmatika

Bentuk umum 2Ut = a + Un

Ut =

Contoh :

Diketahui suatu barisan

1. 1,5,…..,25

2. 1,11,…..,51

Dari barisan tersebut tentukan suku tengahnya

Jawab

1. 2Ut = a + Un

Ut =

= 13

2. Ut =

= 26

d. Sisipan (b’)

Bentuk umum b’ =

b’ = sisipan, k = bilangan yang disisipkan

contoh :

Diketahui 3,9,15,21 disisipkan 2 bilangan maka tentukan bilngan aritmatika baru

k = 2, b = 6

b =

= 2

Maka barisan aritmatika barunya adalah 3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23

e. Barisan Geometri

barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan yang besarnya tetap (r = rasio). Apabila diketahui barisan bilangan:

U1, U2, U3, U4, . . . . Un

nilai r diperoleh dari:

Rumus suku ke-n barisan geometri Un = ar(n – 1) dengan, Un : suku ke-n

a : U1 = suku pertama

r : rasio antara dua suku yang berurutan

n : banyak suku

Contoh :

1. Diketahui suku barisan geometri: 2, 4, 8, 16, . . . Tentukan suku pertama, rasio, rumus suku ke-n, dan suku ke-7

Jawab:

Suku pertama (U1) = a = 2

Rasio (r) = = = 2

Rumus suku ke-n

Un = ar(n – 1)

= (2) . (2)(n – 1)

= 21 + n – 1 = 2n

suku ke-7 (u7) = (2)7 =128

Un = ar(n – 1)

= (2) . (2)(n – 1)

= 21 + n – 1 = 2n

suku ke-7 (u7) = (2)7 =128

2. Diketahui barisan geometri: 27, 9, 3, 1, . . . . Tentukanlah suku pertama, rasio, rumus suku ke-n, dan suku ke-6.

Jawab:

Suku pertama (U1) = a = 27

Rasio (r) = = =

Rumus suku ke-n

Un = a . r(n – 1)

= (27) .( ¾ ) (n – 1)

= 23 (3-1) (n – 1)

= 33 – n + 1

= 34 – n

suku ke-6 (U6) = 34 – 6 = 3-2 = 1/9

3. Pada tahun 2001 jumlah penduduk suatu kota adalah 500.000 orang./ Jika setia tahun kerena faktor urbanisasi dan kelahiran penduduk bertambah 2%, tentukanlah jumlah penduduk pada tahun 2010.

Jawab:

tahun jumlah penduduk

U1 : 2001 500..000

U2 : 2002 500.000 (1+0,02)1

U3 : 2003 500.000 (1+0,02)2

Un 500. 000 (1+0,02)n – 1

Untuk U1 = a 500.000, r = 2% = maka pada tahun 2010 (U10) diperoleh:

Un = 500.000 (1 + 0,02)n – 1

U10 = 500.000 (1,02)10 – 1

= 500.000 (1,02)9

= 597.546,26

Jadi, jumlah penduduk pada tahun 2010 adalah 597.546 orang.

f. Deret Geometri

Penjumlahan suku-suku dari barisan geometri yang berurutan disebut deret geometri. Seperti pada deret aritmetika, deret geometri juga dinyatakan dengan Sn, yaitu:

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + . . . + arn -1

Jika persamaan dikalikan dengan r, maka diperoleh:

r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + . . . + arn -1 + arn .

Sehingga, untuk r < 1, berlaku:

Atau, untuk r > 1, berlaku:

Dimana, Sn : jumlah n pertama.

Contoh :

Tentukanlah rasio, suku ke-10, dan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri berikut ini. 3 + 6 + 12 + 24 + . . . .

Jawab:

a = U1 = 3

Un = a . ((n-1)

U10 = (3) . (2)(10-2) = (3) . (2)9 = (3) . (512) = 1.536

Jadi, r = 2, U10 = 1.536, dan S10 = 3.069

2.2 Limit Fungsi

Berdasarkan catatan sejarah, analisis bermula diabad ke 17 yang ditandai dengan ditemukannya kalkulus oleh Newton dan Leibnis pada abad ke 17 dan ke 18 topik-topik analisis seperti kalkulus, diferensial, dan analisis fourier berkembang pesat untuk bidang terapan.

Gagasan konsep limit merupakan dasar dalam pembelajaran kalkulus, diferensial, dan integral. Dalam aplikasinya konsep limit seringkali digunakan dalam bidang non matematis, misalnya dikatakan “Produksi maksimum dari suatu mesin”. Secara teoritis ungkapan itu sebetulnya merupakan limit untuk pencapaian hasil, yang pada prakteknya tidak pernah tercapai tetapi dapat didekati sedekat dekatnya.

Bentuk Umum

Artinya limit x mendekati a dari F(x) adalah L

Sifat sifat umum

Melalui sifat umum tentukan nilai limit :

1. Menentukan Limit Melalui Cara Memfaktorkan

Bentuk Umum

Jika hasilnya 0/0 maka persamaan limit tersebut harus diselesaikan dengan cara disederhanakan atau difaktorkan sehingga memperoleh nilai yang berbeda.

Contoh soal :

2. Menentukan F(x) dalam Limit

Bentuk umum

Misal :

Melalui

tentukan nilai dari f(x)=2x+3

Jawab :

Maka

3. Menentukan Limit dalam Bentuk Akar

Bentuk umum

Artinya : Limit x mendekati a dari persamaan yang berbentuk akar salah satunya jika menghasilkan nilai 0/0 maka persamaan limit tersebut harus disederhanakan dengan cara dikalikan dengan kawan/lawan jenisnya sehingga menghasilkan nilai yang berbeda.

Contoh :

2.3 Turunan Fungsi

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Rumus turunan fungsi aljabar bentuk axⁿ

Contoh :
1. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x² + 4x)
b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Jawab :
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x² + 4x)
f(x) = 10x² + 20x
f ‘ (x) = 20x + 20

b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Urai terlebih dahulu hingga menjadi
f (x) = 10x² + 8x + 15x + 12
f (x) = 10x² + 13x + 12

Sehingga
f ‘ (x) = 20x + 13

2. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

a)
b)
c)

Jawab

a)
b)
c)

3, Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut, nyatakan hasil akhir dalam bentuk akar

a)
b)

Jawab :

a)
b)

4. Dengan menggunakan rumus turunan hasil kali fungsi berikut ini

Tentukan turunan untuk f(x) = (x² + 2x + 3)(4x + 5)

Jawab :
Misal :
u = (x² + 2x + 3)
v = (4x + 5)

maka
u ‘ = 2x + 2
v ‘ = 4

sehingga penerapan rumus di atas menjadi

5. Diketahui

Jika f ‘(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ‘ (0) =…
Jawab :
Untuk x = 0 maka nilai f(x) adalah

Berikutnya menentukan turunan f (x) yang berbentuk hasil bagi fungsi

Misal:
u = x² + 3 -> u’ = 2x
v = 2x + 1 -> v’ = 2
Sehingga

Untuk nilai x = 0 langsung bisa dimasukkan saja seperti ini

Sehingga f(0) + 2f’ (0) = 3 + 2(−6) = − 9

1. Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa fungsi f(x) naik pada interval x<a atau x>b dan turun pada interval a<x<b

Selain dengan melihat secara visual pada grafik, interval naik atau turunnya suatu fungsi dapat ditentukan dari turunan pertama fungsi tersebut.

Jika f '(x) > 0 untuk semua x yang berada pada interval I, maka f naik pada I.
Jika f '(x) < 0 untuk semua x yang berada pada interval I, maka f turun pada I.

a. Jika f(x) = x² − 6x + 8, tentukan interval f(x) naik dan interval f(x) turun!

Jawab :
f '(x) = 2x − 6

f(x) naik ⇒ f '(x) > 0
⇔ 2x − 6 > 0
⇔ 2x > 6
⇔ x > 3

f(x) turun ⇒ f '(x) < 0
⇔ 2x − 6 < 0
⇔ 2x < 6
⇔ x < 3

Jadi f(x) naik pada interval x > 3 dan turun pada interval x < 3.

b. Fungsi f(x) = 2x³ − 3x² − 36x naik pada interval ...

Jawab :
f '(x) = 6x² − 6x − 36

f(x) naik ⇒ f '(x) > 0
⇔ 6x² − 6x − 36 > 0

Pembuat nol :
6x² − 6x − 36 = 0
x² − x − 6 = 0
(x + 2)(x − 3) = 0
x = −2 atau x = 3

Jadi f(x) naik pada interval x < −2 atau x > 3

c. Fungsi f(x) = x⁴ − 8x³ + 16x² + 1 turun pada interval ...

Jawab :

f '(x) = 4x³ − 24x² + 32x

f(x) turun ⇒ f '(x) < 0
⇔ 4x³ − 24x² + 32x < 0

Pembuat nol :
⇔ x³ − 6x² + 8x = 0
⇔ x (x² − 6x + 8) = 0
⇔ x (x − 2)(x − 4) = 0
⇔ x = 0 atau x = 2 atau x =4

Jadi f(x) turun pada interval x<0 atau 2<x<4

2. Persamaan Garis Singgung Kurva

Persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dengan gradien m adalah : y−y1=m(x−x1)
Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik (1,4) dengan m = 3 adalah

y − 4 = 3(x − 1)
y − 4 = 3x − 3
y = 3x + 1

Gradien dari persamaan garis :

y = ax + b ⇒ m = a
ax + by + c = 0 ⇒ m = −ab

Contoh :

y = −2x + 1 ⇒ m = −2
6x − 2y + 3 = 0 ⇒ m = −6−2 = 3

Gradien garis yang melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah :

m=y2−y1x2−x1

Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :
m=tanα
Gradien Garis A dan B :

Sejajar : mA=mB
Tegak lurus : mA⋅mB=−1

Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik (x1,y1). Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah y−y1=m(x−x1)

dengan m=f′(x1)

1. Persamaan garis singgung kurva y=x2+2x dititik (1,3) adalah ...

Jawab :
Titik singgung : (1, 3)

f(x) = x² + 2x ⇒ f '(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
⇒ m = 4

PGS di titik (1, 3) dengan m = 4 adalah
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1

2. Persamaan garis singgung kurva y=2x−3x2 di titik dengan absis 2 adalah

Jawab :

Absis (x) = 2

y = 2x − 3x²

y = 2(2) − 3(2)²
y = −8

Titik singgung : (2, −8)

f(x) = 2x − 3x²⇒ f '(x) = 2 − 6x

m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
⇒ m = −10

PGS di titik (2, −8) dengan m = −10 adalah

y − (−8) = −10(x − 2)

y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12

3. Persamaan garis singgung kurva y=2√x di titik dengan ordinat 2 adalah

Jawab :
Ordinat (y) = 2
y = 2√x
2 = 2√x
1 = √x
x = 1
Titik singgung : (1, 2)

f(x) = 2√x ⇒ f '(x) = 1√x
m = f '(1) = 1√1
⇒ m = 1

PGS di titik (1, 2) dengan m = 1 adalah
y − 2 = 1(x − 1)
y − 2 = x − 1
y = x + 1

4. Persamaan garis singgung kurva y=x2+5 yang sejajar dengan garis 2x−y+3=0 adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung

2x − y + 3 = 0 ⇒ m₁ = 2

Sejajar : m₁ = m₂

⇒ m₂ = 2

f(x) = x² + 5 ⇒ f '(x) = 2x

m₂= f '(x)

2 = 2x

x = 1

y = x² + 5

y = (1)² + 5
y = 6

Titik singgung : (1, 6)

PGS di titik (1, 6) dengan m₂= 2 adalah

y − 6 = 2(x − 1)

y = 2x − 2 + 6
y = 2x + 4

5. Persamaan garis singgung kurva y=3−x2 yang tegak lurus terhadap garis 4y=x+1 adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung

4y = x + 1 ⇒ m₁ = 14

Tegak lurus : m₁ . m₂ = −1
14 . m₂ = −1
⇒ m₂= −4

f(x) = 3 − x² ⇒ f '(x) = −2x

m₂= f '(x)

−4 = −2x

x = 2

y = 3 − x²

y = 3 − (2)²
y = −1

Titik singgung : (2, −1)

PGS di titik (2, −1) dengan m₂ = −4 adalah

y − (−1) = −4(x − 2)

y + 1 = −4x + 8
y = −4x + 7

BAB 3

PENUTUP

3.1Kesimpulan

Dalam semua materi ini limit fungsi, serta turunan fungsi materi yang sambung menyambung unyuk itu perlu dipelajari dasarnya terlebih dahulu agar mudah dipahami

3.2Saran

Dalam bab ini perlu konsep-konsep dasar yang harus diketahui terlebih dahulu agar lebih paham materi selanjunya

DAFTAR PUSTAKA

https://wiedewih.wordpress.com/2017/12/29/barisan-dan-deret/

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/

https://smatika.blogspot.com/2016/04/menentukan-interval-fungsi-naik-dan_24.html

https://smatika.blogspot.com/2016/04/persamaan-garis-singgung-kurva_6.html

http://partner-matematika.blogspot.com/2018/01/limit-fungsi-sifat-sifat-dan-contoh.html

https://bfl-definisi.blogspot.com/2017/10/contoh-soal-limit-fungsi-aljabar-dan.html

https://hedisasrawan.blogspot.com/2014/12/limit-fungsi-materi-sma-xi-ipa-semester.html